2009年にAram Harrow、Avinatan Hassidim、Seth Lloydによって発表されたHHLアルゴリズムは、Ax = bという形の線形システムを解き、システムの規模に対して対数的にスケールする時間で、解ベクトルxに比例した量子状態を返します。適切な条件のもとでは、最良の古典的な線形ソルバーに対して指数関数的な高速化となります。その条件こそが落とし穴です。この高速化には、行列Aが疎で条件数が良いこと、入力ベクトルbがすでに量子状態としてロード可能であること（これ自体が一般には難しい問題です）が必要であり、出力は解そのものの個々の数値ではなく解を符号化した量子状態であるため、特定の値を読み出すには追加の測定が必要になり、それによって高速化の効果がしばしば完全に失われてしまいます。HHLは、古典的な線形代数の汎用的な置き換えというよりも、他の量子アルゴリズムがその上に構築するサブルーチンとして理解するのが最も適切です。とりわけ、内部的には線形システムを解くことに帰着する、いくつかの提案されている量子機械学習アルゴリズムがその例です。その漸近的な優位性が実際に現れるような規模でHHLを実行できる耐障害性ハードウェアは、まだ存在していません。